¿Cómo saber cuando una función es continua?

El concepto de continuidad de una función es el primero que daremos en el tema de Funciones y Gráficas, por lo que es esencial que quede claro desde el principio. La definición teórica nos dice que:

Una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. 

Es decir,

Función cuyo valor no salta súbitamente al aumentar o disminuir gradualmente la variable. 

Todo esto suena muy técnico, así es que vamos a tratar de explicarlo mejor. Diremos que una función es continua cuando podemos dibujar su gráfica sin necesidad de levantar el lápiz del papel.

Pero basta de palabras, lo mejor es que lo veáis con vuestros propios ojos. Fijaros en la gráfica de la función que se muestra en la siguiente imagen.

Ahora coged cualquier lápiz que tengáis a mano y trata de recorrer la gráfica con él. ¿Veis como una vez que comenzáis el trazado de la gráfica el lápiz no se separa del papel en ningún momento? Eso significa que esta gráfica corresponde a una función continua.

Sin embargo, veamos qué pasa con la siguiente función.

Si ahora repites el proceso del lápiz con esta gráfica verás que te encuentras con un problema cuando llegues al punto x(0) porque se produce un salto en el dibujo, eso es lo que se conoce como discontinuidad.