Jornada de bienvenida

Después de un descanso vuelvo a estar en activo y ha llegado el momento de reactivar el blog.

Durante este cuatrimestre las principales entradas serán para contar mis experiencias en el instituto en el que estoy haciendo las prácticas, IES Torrellano. Así es que, sí, esto va a ser una especie de diario de bitácora como aquel que tenían los marineros de antaño.

La jornada de bienvenida fue muy acogedora, nos explicaron a todos los alumnos de prácticas como íbamos a funcionar en el instituto, quiénes iban a ser nuestros tutores y nos enseñaron el instituto. Doy gracias de que lo hicieran porque al principio me veía muy perdida y no sabía cómo moverme. Además se nos proporcionaron unas hojas muy detalladas con las horas que debemos realizar en las prácticas, lo cual me ha servido de gran ayuda a la hora de coordinarme con mi tutora.

Es mismo día me incorporé a la actividad en el instituto con mi primera reunión de Erasmus+. Os estaréis preguntando qué es esto. Pues bien, a mí también me sorprendió. Resulta que este instituto trabaja a nivel internacional con otros institutos de Italia, Alemania…Entre todos están realizando un interesante proyecto sobre el agua para tratar de concienciar a la gente de hoy en día de lo importante que es este elemento y que no debemos malgastarla. En él se unirán profesores y alumnos para dar un enfoque histórico sobre el uso del agua en esta parte de la provincia, así como uno un poco más científico, ya que van a construir ¡una turbina! Me llamó mucho la atención escuchar este hablar de proyecto que involucra a gran parte del instituto e incluso a institutos de otros países. Creo que es una gran iniciativa y algo que se debería promover.

Por supuesto, también tuve mi primera clase para perder un poco el miedo escénico, aunque en esta ocasión me limité a escuchar sin intervenir en el aula. Voy a ser sincera, he dado clases particulares durante muchos años pero tenía un poco de respeto (por no decir miedo) a encontrarme con una clase llena de alumnos. Mi tutora me demostró que no tenía que tenerlo porque aunque todas las historias que escuchamos en la televisión los muestren muy fieros no dejan de ser niños que, con la guía correcta, están allí para aprender.

Máximos y mínimos

¿Recordáis los conceptos que vimos ayer? Pues bien, las funciones no tienen por qué ser siempre crecientes o decrecientes, se pueden producir cambios en su crecimiento. Cuando se dan estas alteraciones aparecen lo que llamamos puntos críticos o extremos. Dentro de ellos se encuentran los máximos y mínimos que estudiaremos en este curso de 3º de ESO.

Como siempre, empecemos dando la definición teórica.

Se dice que x es un máximo de f(x) si en ese punto la función pasa de ser creciente a ser decreciente.

¿Esto en que se traduce? Gráficamente, lo que veremos cuando una función tenga un máximo en cierto punto será como una montaña, y justo el vértice de la montaña (su punto más alto) será un máximo. Pero como una imagen dice más que mil palabras aquí tenéis una gráfica que ilustra esta situación:

Análogamente, definimos un mínimo como:

Se dice que x es un mínimo de f(x) si en ese punto la función pasa de ser decreciente a ser creciente.

Es decir, que en este caso lo que veremos en la gráfica de la función será una especie de valle, y el punto más profundo de éste será un mínimo.

Obviamente, como la función puede alterar su forma de crecimiento ésta puede tener muchos máximos y mínimos simultáneamente, pero la forma de identificarla siempre será la misma. Veamos un ejemplo donde se distingan varios de estos puntos críticos.

Espero que ahora estos conceptos os hayan quedado más claros con el truco de la montaña y el valle. Recordad, si queréis practicar con más ejercicios o acceder a algún otro recurso recomendado para el tema sólo tenéis que ir a la sección de Recursos TIC y encontraréis una lista con todos ellos.

¡Mi primera PECHAKUCHA!

¿Qué es una PECHAKUCHA? Pues para seros sincera yo tampoco lo sabía hasta hace poco, pero ha sido un recurso que me ha parecido interesante y hasta divertido. Consiste en una presentación con 20 diapositivas de 20 segundos cada una. ¡Sólo 20 segundos! Al principio me pareció una locura, pero la verdad es que hace que tengas que preparar muy bien lo que quieres decir en cada momento y hace que la presentación sea dinámica.

En mi caso he escogido el tema de Funciones y Gráficas de 3º de ESO ya que muchos de mis alumnos se quejaban de que éste les era especialmente complicado. Así es que espero que tras este vídeo les queden solucionadas algunas, si no todas, las dudas que tuviesen.

Esta presentación se complementa con varios recursos que recomiendo en la sección de Recursos TIC como, por ejemplo, tutoriales alternativos, ejercicios interactivos o con soluciones, y programas para trabajar con gráficas.

Recordaros, por supuesto, que para cualquier problema, sugerencia o duda que tengáis estoy a vuestra completa disposición y no tenéis más que dejar un comentario o poneros en contacto conmigo en el correo que se facilita en el blog.

Crecimiento de una función

Ahora que ya sabemos todos distinguir una función continua de una discontinua le toca el turno al concepto de crecimiento. La palabra "crecer" nos puede dar una idea de por donde van los tiros, cuando algo crece significa que aumenta de tamaño y algo así es lo que le pasa a una función cuando decimos que es creciente.

Al igual que antes comencemos dando la definición teórica

Una función es creciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1  y x2, con la condición de que x1 sea menor o igual que x2, se verifica que    f( x1 ) es menor o igual que f( x2 ).

Es decir, que si avanzáis en el eje de abscisas (el eje de las x) tomando cifras cada vez mayores,  el valor de la función aumenta o "crece" como decía antes.

Voy a poner un ejemplo gráfico y veréis como todo se entiende mucho mejor.

Al igual que algo "crece" también puede "decrecer" y lo mismo le pasa a las funciones.

Una función es decreciente en un intervalo [a,b] si al tomar dos puntos cualesquiera del mismo, x1  y x2, con la condición de que x1 sea menor o igual que x2, se verifica que    f( x1 ) es mayor o igual f( x2 ).

Es exactamente el concepto opuesto, de modo que si la anterior definición ha quedado clara está será fácil de entender. Veámoslo sobre la imagen:

Si después de todo esto aún tenéis problema para podéis probar con lo siguiente. Hemos dicho que si una función es creciente significa que "crece", es decir, que asciende, pues bien, eso es lo que apreciaremos en su gráfica, que ésta describirá una curva "ascendente". En el caso de una función decreciente lo que sucederá es que su gráfica describirá una curva "descendente". Espero que este pequeño truco os ayude a poder diferenciar los dos conceptos aunque no recordéis la definición teórica.

Aprende geometría desarrollando videojuegos

En una entrada anterior hablaba sobre la posibilidad de utilizar Python, como lenguaje de programación, a la hora de mejorar la experiencia educativa en matemáticas. Hoy me gustaría ir un paso más allá, y proponer el desarrollo de un sencillo videojuego, como es el Pong, para mejorar el entendimiento de los alumnos sobre ángulos, geometría, coordenadas y ciertas magnitudes físicas, como puede ser la velocidad.

Existen determinados frameworks, como PyGame, que permiten crear videojuegos, con Python, de una manera sencilla, ocupándose de manera automática de ciertos detalles que poseen poca relevancia para la materia de matemáticas.

Así pues, el profesor podría centrarse en proponer al alumno actividades tipo:

• Gestionar el rebote de la pelota cuando alcanza un borde o una pala.
• Investigar posibles fórmulas para aumentar la velocidad de la pelota una vez toca cualquiera de las dos palas.
• Estudiar cómo incrementar la resistencia del movimiento de las palas para hacer el juego más desafiante.
• Experimentar fórmulas de diversas curvas geométricas para dotar de efectos especiales al movimiento de la pelota.

Seguro que tras una actividad así, los alumnos valorarían mejor el rol que juegan las matemáticas en el desarrollo de los videojuegos a los que tanto tiempo dedican hoy en día.

¿Cómo saber cuando una función es continua?

El concepto de continuidad de una función es el primero que daremos en el tema de Funciones y Gráficas, por lo que es esencial que quede claro desde el principio. La definición teórica nos dice que:

Una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de la función. 

Es decir,

Función cuyo valor no salta súbitamente al aumentar o disminuir gradualmente la variable. 

Todo esto suena muy técnico, así es que vamos a tratar de explicarlo mejor. Diremos que una función es continua cuando podemos dibujar su gráfica sin necesidad de levantar el lápiz del papel.

Pero basta de palabras, lo mejor es que lo veáis con vuestros propios ojos. Fijaros en la gráfica de la función que se muestra en la siguiente imagen.

Ahora coged cualquier lápiz que tengáis a mano y trata de recorrer la gráfica con él. ¿Veis como una vez que comenzáis el trazado de la gráfica el lápiz no se separa del papel en ningún momento? Eso significa que esta gráfica corresponde a una función continua.

Sin embargo, veamos qué pasa con la siguiente función.

Si ahora repites el proceso del lápiz con esta gráfica verás que te encuentras con un problema cuando llegues al punto x(0) porque se produce un salto en el dibujo, eso es lo que se conoce como discontinuidad.

Llevando Python al aula de matemáticas

Es innegable que las matemáticas y la programación pueden ir cogidas de la mano sin problema alguno. Gran parte de la transmisión del conocimiento en el área de matemáticas se suele realizar en forma de “recetas” para resolver ciertos problemas.

Este hecho se convierte en la excusa perfecta para invitar a los alumnos a programar soluciones para algunos problemas cotidianos que se presentan en el aula. Opino que si un alumno es capaz de enseñar a un ordenador a resolver cierto problema con garantías, él mismo habrá adquirido, durante el proceso, un gran entendimiento del mismo.

Para llevar a cabo esta recomendación estimo Python es un lenguaje de programación adecuado, quizá el ideal. Con una sintaxis sencilla y un tremendo énfasis en la legibilidad del código, es la herramienta perfecta para una primera aproximación a este mundo. Además, el hecho de ser un lenguaje interactivo, con una consola REPL de fácil acceso, permite que los estudiantes exploren, experimenten y jueguen con los elementos de Python, lo cual suma muchos puntos a esta propuesta.

¿Qué tiene de especial el número 123?

En ocasiones puede resultar de utilidad sacar a relucir alguna curiosidad matemática, con el objeto de rebajar la tensión en clase, incrementar el interés de los alumnos por la materia o, simplemente, motivar cierto concepto. Aquí dejo un resultado ciertamente curioso:

Tomamos un número entero positivo cualquiera de tres o más cifras y contamos cuántas de ellas son pares y cuantas impares, y con estos datos construimos un número de la siguiente forma: colocamos primero la cantidad de cifras pares que tenía el inicial, después la cantidad de cifras impares y después la cantidad total de cifras que tenía. Con el número obtenido hacemos lo mismo, y así sucesivamente. Sea cual sea el número inicial siempre terminaremos en el 123, y no saldremos de él.

Por ejemplo, escojamos un número al azar: 1234567890 (muy aleatorio no ha sido, no…). Tenemos 5 cifras pares, 5 cifras impares y 10 en total, lo que hace el número 5510. Ahora bien, este último posee 1 cifra par, 3 impares y 4 en total, quedando 134. Si volvemos a aplicar el proceso, tenemos ahora 1 cifra par, 2 impares y 3 en total, es decir, 123, como afirma el resultado. Curioso, ¿verdad?

Si estás interesado en una demostración de esta proposición, consulta el siguiente enlace.

La geometría se hace arte

Existen diversas maneras de ofrecer un aprendizaje atractivo de las matemáticas, pero, en mi opinión, destacan aquellas que consiguen enlazar conceptos de esta materia con elementos de la vida real. En el caso de la geometría lo tenemos fácil, dado que España ha sido históricamente un nexo entre culturas y disponemos de una excelente colección artística en la que quedan reflejados muchos elementos geométricos.

Sin ir más lejos, a la hora de tratar el tema de las simetrías, recomiendo utilizar el siguiente breve vídeo en el aula. Aún siendo algo antiguo, y con una edición bastante mejorable, seguro despierta interés en los alumnos cuando aprecien cómo esos elementos que estudian en clase aparecen a lo largo y ancho de la Alhambra.

Además, la última parte de este recurso puede servir como excusa para introducir a los alumnos, de manera tangencial, al concepto de geometrías no-euclídeas. Los grabados de Escher quedarían así estupendamente motivados para los alumnos, y quizá en alguno de ellos pudiese despertar cierta atracción hacia esta "extraña" parte de la matemática, tan útil sin embargo en algunas areas del conocimiento.

MOOC para educación secundaria

Acabo de descubrir que uno de los portales de MOOC más importantes a nivel mundial, edX, ha apostado por ampliar el ámbito de este tipo de educación (hasta ahora fuertemente centrado en el nivel universitario) a secundaria. En este enlace se puede consultar la oferta disponible a día de hoy, que abarca la poco desdeñable cantidad de cuarenta y cuatro cursos.

Desde que esta iniciativa despegó en el año 2012, siempre la he visto con buenos ojos de cara a explorar nuevos temas de interés y salir de nuestra zona de confort, en lo que aprendizaje respecta, dentro de un entorno medianamente controlado.

Opino que contar con MOOC, a nivel nacional, como recurso complementario a los materiales que dentro del aula se explican, sería una interesante idea a explorar. Ejercicios resueltos complementarios, aplicaciones a la vida real de conceptos expuestos en el aula o programas diseñados para alumnos que presenten necesidades especiales, podrían ser interesantes contenidos.

En definitiva, crear MOOC y educar tanto a alumnos como a padres en su buen uso, es un camino que estimo merece la pena investigar, de cara a conseguir una experiencia de aprendizaje más enriquecedora.